Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} p & 1 & 1 \\ q & 1 & q \\ 1 & 1 & p \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$p | \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} | - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 2

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & q \\ 1 & p \end{array} |$ .

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (1 p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 2.2

Multiplica $p$ por $1$ .

$p (p - q) - q | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & p \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (1 p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Multiplica $p$ por $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1 \cdot 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 3.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & q \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (1 q - 1 \cdot 1)$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $q$ por $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$p (p - q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$p \cdot p + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.2

Multiplica $p$ por $p$ .

$p^{2} + p (- q) - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$p^{2} - p q - q (p - 1) + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$p^{2} - p q - q p - q \cdot - 1 + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.5

Multiplica $- q \cdot - 1$ .

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Paso 5.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$p^{2} - p q - q p + 1 q + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.5.2

Multiplica $q$ por $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + 1 (q - 1)$

Paso 5.1.6

Multiplica $q - 1$ por $1$ .

$p^{2} - p q - q p + q + q - 1$

Paso 5.2

Resta $q p$ de $- p q$ .

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Paso 5.2.1

Mueve $q$ .

$p^{2} - p q - 1 p q + q + q - 1$

Paso 5.2.2

Resta $p q$ de $- p q$ .

$p^{2} - 2 p q + q + q - 1$

Paso 5.3

Suma $q$ y $q$ .

$p^{2} - 2 p q + 2 q - 1$